Urodził się w Makowie Mazowieckim. W 1789 r. wstąpił do zakonu pijarów w Łomży. Święcenia kapłańskie przyjął siedem lat później, zostając nauczycielem w Łomżyńskiej Szkole Pijarów.

 

W 1804 r. po zakończonej po Niemczech podróży służbowej „dla zdobycia doświadczenia przy organizacji szkolnictwa”, dostał posadę profesora w Gimnazjum Płockim. W 1808 r. został rektorem szkoły departamentowej w Sejnach.

 

Ważnym wydarzeniem w życiu Szweykowskiego było utworzenie Królewskiego UW w 1816 r. Na początku 1818 r. został dziekanem Wydziału Teologicznego, a 2 marca 1818 r. wybrano go pierwszym rektorem UW. Pierwszy rektor UW był członkiem Komisji Rządowej Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego, Deputacji do Spraw Ustalenia Prawideł Pisowni Polskiej, Warszawskiego Towarzystwa Przyjaciół Nauk i honorowym profesorem Uniwersytetu Wileńskiego. Należał do najbardziej znanych działaczy oświatowych okresu Królestwa Polskiego.

 

Po wybuchu Powstania Listopadowego ks. rektor Wojciech Anzelm Szweykowski usunął się w cień. Nie podzielał entuzjazmu młodzieży do walki z caratem i nie wierzył w skuteczność powstania.